课程基本信息
课程编号：B3I392100
课程中文名称：信息安全数学基础
课程英文名称：Mathematical Foundations of Information Security
开课学期：秋季
学分/学时：3/48(理论学时)
先修课程：工科数学分析(1)、工科数学分析(2)、工科高等代数、离散数学（信息类）
建议后续课程：密码学、密码学及应用试验、信息网络安全
适用专业/开课对象：信息安全专业，信息对抗技术专业，二年级本科生
任课教师：伍前红、高莹、郭华、张宗洋、姚燕青
团队负责人：伍前红 核准院长：刘建伟
课程教学大纲正文
一、课程的性质、目的和任务
信息安全数学基础是信息安全专业和信息对抗技术专业的一门核心专业课，是网络空间安全的重要理论基础与技术基础，其内容和思想方法为我们提供了一种不可缺少的重要工具，且已广泛应用于信息安全与保密等许多方面。
通过本课程的教学，使学生掌握初等数论及抽象代数的基本理论和方法，培养训练学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，为密码学等后续专业课程的学习和以后工作打下必要的基础。本课程是一门理论性很强的课程，在教学过程中，要求完成一定数量的作业，以便消化课内涉及的相关知识点和概念。具体教学目标可分解为:
1.了解初等数论、抽象代数的基本数学思想及其在编码理论、密码学等计算机科学技术领域的应用；
2.掌握初等数论、抽象代数的基本理论及方法，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；
3.具有利用已有知识来分析问题和解决问题的能力；
4.具有获取运用网络、图书等有关技术资料的能力。
课程目标对毕业要求的支撑关系
| 毕业要求1：工程知识 能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识用于解决复杂计算机工程问题。 |
课程目标2 |
| 毕业要求2：问题分析 能够应用数学、自然科学基本原理，并通过文献研究，识别、表达、分析复杂计算机工程问题，以获得有效结论。 |
课程目标3 |
| 毕业要求3：设计/开发解决方案 能够设计针对复杂计算机工程问题的解决方案，设计满足特定需求的计算机系统，并能够在设计环节中体现创新意识，考虑法律、健康、安全、文化、社会以及环境等因素。 |
课程目标2,3 |
| 毕业要求4：研究 能够基于科学原理并采用科学方法对复杂计算机工程问题进行研究，包括设计实验、分析与解释数据、并通过信息综合得到合理有效的结论。 |
课程目标2,3 |
| 毕业要求5：使用现代工具 能够在计算机工程实践中开发、选择与使用合理有效的技术、资源、现代工程工具和信息技术工具，并了解其局限性。 |
课程目标1,4 |
| 毕业要求6：工程与社会 具有追求创新的态度和意识，掌握基本的创新方法，以及综合运用理论和技术手段设计复杂计算机系统与过程的能力；设计过程中能够综合考虑社会、经济、文化、环境、法律、安全、健康、伦理等制约因素。 |
课程目标1 |
二、课程内容、基本要求及学时分配
本课程的研究对象为初等数论和抽象代数，主要介绍初等数论及抽象代数的基本概念、基本知识及基本方法。
| 序号 |
教学内容 |
基本要求及重点和难点 |
学时 |
教学方式 |
对应的教学目标 |
支持毕业要求指标点 |
| 1 |
整数的可除性 整除、素数、最大公因数等的定义；欧几里得除法；广义欧几里得除法；算术基本定理 |
掌握整除、素数、最大公因数等的定义； 熟练运用欧几里得除法和广义欧几里得除法。重点是整除、素数、欧几里得除法、算术基本定理；难点是广义欧几里得除法。 |
4 |
课堂讲授+ 课后作业 |
1、2、3 |
1、2、4 |
| 2 |
同余 同余；剩余类、完全剩余系；简化剩余系；欧拉定理；模重复平方算法 |
掌握同余、剩余类、完全剩余系等的定义；熟练运用同余运算、费马小定理以及模重复平方算法。.重点是完全剩余系、简化剩余系、欧拉定理，难点是模重复平方算法。 |
4 |
课堂讲授+ 课后作业 |
2、3、4 |
1、2、3、4、5 |
| 3 |
同余式 同余式的定义；一次同余方程；一次同余方程式组；高次同余方程的一般解法 |
理解同余式等的定义；掌握一次同余式求解；熟练运用中国剩余定理，了解高次同余式的求解。重点是一次同余式求解，难点是一次同余式组求解。 |
4 |
课堂讲授+ 课后作业 |
2、3、4 |
1、2、3、4、5 |
| 4 |
二次同余与平方剩余 二次同余和平方剩余的定义；勒让德符号；雅克比符号；模p平方根 |
掌握二次同余和平方剩余的定义；熟练运用勒让德符号和雅克比符号，以及求模p平方根。重点是勒让德符号，难点是雅克比符号。 |
4 |
课堂讲授+ 课后作业 |
2、3、4 |
1、2、3、4、5 |
| 5 |
原根与指标 原根、指数等的定义；原根判别法则；离散对数问题 |
掌握原根、指数等的定义；熟练运用原根判别法则以及会具体的求出原根。重点是原根、指数的定义；难点是原根的求解。 |
4 |
课堂讲授+ 课后作业 |
2、3、4 |
1、2、3、4、5 |
| 1 |
代数结构概论 代数运算；代数结构；同态与同构；同余关系；商代数结构与积代数结构 |
熟练掌握代数运算及其性质、代数结构的基本概念及有关性质，理解和掌握代数结构之间的同态与同构、代数结构上的同余关系等概念，掌握代数结构的同态基本定理，会求商代数结构与积代数结构。重点是代数运算及其性质，代数结构与子代数，代数结构之间的同态与同构，同余关系，商代数结构与积代数结构，代数结构的同态基本定理；难点是代数结构之间的同态与同构，同余关系，商代数结构，代数结构的同态基本定理。 |
6 |
课堂讲授+ 课堂互动+ 课后作业 |
1,2 |
1、2、3、4、5 |
| 2 |
半群、幺半群和群 半群和幺半群；群及其基本性质；子群和群同态；变换群与循环群；不变子群、商群与群同构基本定理 |
熟练掌握半群、幺半群和群的基本概念及有关性质，特别是变换群、置换群和循环群及其性质，理解和掌握群同态、子群、不变子群和商群的概念及其性质，会利用拉格朗日定理和群同构定理解题。重点是半群和幺半群的基本概念及有关性质，群的等价定义，元素的阶，子群，群同态，变换群，置换群，循环群，不变子群、商群及群同构基本定理。难点是群的等价定义，不变子群、商群与群同构基本定理。 |
10 |
课堂讲授+ 课堂互动+ 课后作业 |
2,3,4 |
1、2、3、4、5 |
| 3 |
环和域 具有两个二元运算的代数结构；有限域 |
熟练掌握环、各种特殊环和域的基本概念及其主要性质，理解和掌握子环、环同态、理想、商环、域上多项式环和域的特征等概念及其主要性质、熟练掌握有限域上多项式的带余除法和不可约多项式的求法。重点是环、各种特殊环与域的基本概念及其主要性质，子环、环同态、理想、商环、域上多项式环和域的特征，有限域上多项式的带余除法和不可约多项式的求法。难点是理想与极大理想、商环与环同态基本定理，域的特征，有限域上的不可约多项式、由不可约多项式构造新的有限域的方法。 |
6 |
课堂讲授+ 课堂互动+ 课后作业 |
2,3,4 |
1、2、3、4、5 |
| 1 |
代数结构概论 代数运算；代数结构；同态与同构；同余关系商代；数结构与积代数结构 |
熟练掌握代数运算及其性质、代数结构的基本概念及有关性质，理解和掌握代数结构之间的同态与同构、代数结构上的同余关系等概念，掌握代数结构的同态基本定理，会求商代数结构与积代数结构。重点是代数运算及其性质，代数结构与子代数，代数结构之间的同态与同构，同余关系，商代数结构与积代数结构，代数结构的同态基本定理。难点是代数结构之间的同态与同构，同余关系，商代数结构，代数结构的同态基本定理。 |
6 |
课堂讲授+ 课堂互动+ 课后作业 |
1,2 |
1、2、3、4、5 |
三、教学方法
在教学过程中，体现“学生主体、教师主导”的教学思想，提倡启发式、讨论式、研究式教学，突出对学生抽象思维、主动实践意识以及自主创新能力的培养。
课程教学分课内教学与课外学习。课内教学包括课堂讲授、讨论课、习题课等；课外学习包括课外作业、小论文、大作业等环节。
四、课内外教学环节及基本要求
课堂授课（48学时，周平均学时数3）
课堂教学中采用启发式和互动式教学方法，注重密码学算法与实际应用场景的有机结合；注重课件、视频资料、板书和教师讲解的有机结合。
五、考核方式及成绩评定
本课程以期末闭卷考试、课堂讨论及平时成绩相结合。
平时成绩占20分。包含：考勤、平时作业、大作业、小论文等。
期末闭卷成绩占80分。
六、教材和参考资料
教材：
[1]陈恭亮. 2006年.信息安全数学基础.北京：清华大学出版社。
参考资料：
[1]抽象代数基础（第二版），丘维声主编，高等教育出版社，2015年
[2]初等数论（第三版），潘承洞、潘承彪，北京大学出版社，2003年。
